Alexander Yakoniuk wurde 1975 in Minsk (Weißrussland) in einer Musikerfamilie geboren. Mit fünf Jahren begann er Violine zu spielen. 1993 beendete er mit Auszeichnung das Musiklyzeum an der Hochschule für Musik in Minsk, wo er seine erste Ausbildung bei Frau Prof. Larissa Kolos, Prof. Eduard Kuchinsky und Frau Prof. Olga Parchomenko, einer Schülerin von David Oistrach, erhielt. Danach studierte er an der Hochschule für Musik in Minsk bei Prof. Anri Yanpolsky, einem Schüler von Leonid Kogan und anschließend an der Musikhochschule Köln bei Prof. Viktor Tretjakov. Dirigieren und Orchesterleitung (Meisterkurse) studierte Alexander Yakoniuk bei Maestro Gennadi Provatorov.
Alexander Yakoniuk erhielt bereits 1992 beim nationalen Violinwettbewerb in Weißrussland den 1. Preis. Als erster Geiger im "Neuen Weißrussischen Quartett" gewann er 1995 die Silbermedaille beim internationalen Wettbewerb der Streichquartette in Cremona (Italien) und war Preisträger beim internationalen Wettbewerb "Music and Songs of Eastern Europe" (Minsk).
Alexander Yakoniuk trat regelmäßig als Solist mit dem Staatlichen Sinfonieorchester und dem Kammerorchester Weißrusslands, der Kammerphilharmonie Rhein-Erft und der Camerata Louis Spohr auf. Als Solist und Kammermusiker gastierte er in ganz Europa und den USA. Unter anderem spielte Alexander Yakoniuk im Sommersaal des Johann-Sebastian-Bach-Museums Leipzig. 2000 gründete er als Primarius sein nach ihm benanntes Streichquartett und das Ensemble Ars Millennium.
Im Rahmen seiner solistischen Tätigkeit wirkte er bei zahlreichen Rundfunk- und Fernsehaufnahmen mit (WDR, Radio Phönix, italienischer und weißrussischer Rundfunk). Als Konzertmeister ist er verschiedenen Orchestern verpflichtet, so der Kammerphilharmonie Rhein-Erft, dem Folkwang-Kammerorchester, Camerata Louis Spohr und dem Neuen Rheinischen Kammerorchester.
Besonderen Wert legt er auf die Pflege zeitgenössischer Musik. Hierzu gehört auch seine Mitwirkung im „Ensemble MusikFabrik", mit dem er unter anderem beim Musikfest Berlin auftrat. Es liegen auch CD´s mit Werken zeitgenössischer weißrussischer Komponisten vor, die ihre Uraufführung Alexander Yakoniuk verdanken. Alexander Yakoniuk hat wissenschaftliche Arbeiten zur zeitgenössischen Musik von Weißrussland vorgelegt und ist u.a. Autor des Standardwerkes "Das weißrussische Violinkonzert".
Er nahm an verschiedenen internationalen Musikfestspielen teil: "Minsker Frühling", "Été du Grand Jardin" (Frankreich), "Festival der Kirchenmusik" (Litauen), "Weißrussischer Musik-Herbst", "Bonner Sommer", "Festspieltreffen" (Bayreuth), "Bergische Biennale Neue Musik", „Musikfest Berlin", „Beethovenfest Bonn". Das „Ilfelder Musikfestival" (2007, 2008) geht auf seine Initiative zurück.
Seit 2008 ist Alexander Yakoniuk auch als Dirigent tätig. Er ist Dozent für Violine und Viola an der Bergischen Universität Wuppertal (seit 2015) und an der Universität zu Köln (seit 2019). Überdies ist er in die Jury der „On Stage International Classical Music Competition" und „ClaviCologne International Piano Festival und Competition" berufen worden.